函数项级数一致收敛性的判别法
函数项级数一致收敛性的判别法
摘 要 函数项级数是数学分析中的重点和难点,因此讨论和分析它的性质和判别方法显得尤为重要,本文给出了函数项级数的定义以及函数项级数一致收敛性的判别定理，并用之来解决函数项级数一致收敛性的一些问题比较容易.
关键词 函数项级数；一致收敛性；判别法.
中图分类号 O173.1
Function Seies Convergence Criterion
Abstract：Function is a mathematical analysis of series of focus and difficult, so the discussion and analysis of its nature and it is particularly important to identify methods.In this paper, the definition of Function series and uniform convergence of Function series of discriminant theorem,and used to solve the series of uniform convergence of Function of some of the problems is easier.
Key words：Function series; Uniform convergence of; Discriminance
1 引言及预备知识
如果函数项级数具有一致收敛性,函数项级数的和函数或余和易于求得,判别它的一致收敛性可应用一致收敛定义,如果很难求得它的和函数或余和，就根据函数自身的结构,找到判别一致收敛性的判别法.
定义1.1[1] 设…,…是一列定义在D上的函数,把这些函数的各项用加号连接起来的表达式
…++…或, (1)
称为函数项级数. 函数级数在对应一个数值级数
=…++…. (2)
它的敛散性可用数值级数敛散性的判别法判别,若级数(2)收敛,则称是函数级数(1)的收敛点;若级数(2)发散,则称是函数级数(1)的发散点.
定义1.2[1] 函数项级数(1)的收敛点的集合,称为函数项级数(1)的收敛域,若收敛域是一个区间,则称此区间是函数项级数的收敛区间.
定义1.3[1] 设数集为函数项级数的收敛域,则对每个记S(x)= 称S(x)为函数项级数的和函数.
定义1.4[1] 设,(n=1,2…)都是在数集上有定义的函数,若存在一个在上有定义的函数S(x),对任意的>0,存在自然数集N,使得当N时.对一切的 x 均有||<则称函数项级数在数集上一致收敛于.
引理1.1[3] 函数项级数一致收敛的柯西准则:函数项级数在数集上一致收敛的充要条件是:对任意的>0,存在自然数集N,使nN时,对任意的自然数及一切均有.
引理1.2[1]阿贝尔引理 若i) 是单调,ii)对任意正整数(1n)有||A(这里=++),则记有
||3A.
2 主要结论及初步应用
2.1 地尼判别法
定理1 设在上连续, 有在收敛于连续函数,则在上一致收敛于.
证 用反证法 若在不一致收敛于连续函数,为级数的部分和,则和使得
.
对应用聚点定理, 的子列收敛于,不妨设此子列即为固定,当时
.
令，由于的连续性,因此这与收敛于矛盾.
例1 证明在区间上函数序列一致收敛于.
证 在区间上递增趋于,在上连续,应用地尼定理 所以是一致收敛于.
例2 函数序列是一致收敛.
证 由于 ， 又因
,
,
.
故一致收敛于.
这类例题它在区间上是连续的,并且它收敛于一个连续用地尼判别法显得比较有效.
2..2 狄利克雷判别法
定理2 设1) 的部分和函数列在上一致有界,2)对于每一个是单调的,3)在D上一致收敛于则级数在上一致收敛.
证明 1)存在正整数M,对一切的,有因此当为任何正整数时
.
对于每一个,再由2)及阿贝尔引理得到
,
.
再由3)对任给的>0,存在正整数,当时, 对一切的有
.
所以
,
于是由一致收敛性的柯西准则级数在上一致收敛.
例3 .
解 设
由于
.
于是的部分和一致有界,而故一致收敛于,由狄利克雷判别法,原级数一致收敛
例4 若数列单调且收敛于零,则级数在上一致收敛.
证 在上有
.
所以级数的部分和函数列在上一致有界于是令
.
则由狄利克雷判别法可得级数在上一致收敛.
这个例子是由简单的几个函数构成的把它拆分成两部分在给定区间上是有界函数收敛于零,故用狄利克雷判别法较为有效.
阿贝尔判别法
定理3 设1)在区间上一致收敛2)对于每一个是单调的3)在上一致有界,即对一切和正整数 ,存在正数使得则级数在上一致收敛.
证明 由1)任给,存在某正数使得当 任何正整数,对一切有
.
又由2),3)及阿贝尔定理
.
于是根据函数项级数一致收敛性的柯西准则得到一致收敛.
例5
解
由于 ,
于是一致收敛,又因对固定的单调递增,且.
故由阿贝尔判别法，原级数一致收敛.
例6 证明:若级数收敛则狄利克雷级数当时一致收敛.
证明 设因为当时一致收敛,当固定时是单调的且,故由阿贝尔判别法可知当时一致收敛.
这种题型可以看作是两个调和级数的相加,因为在给定区间上它是收敛的并且是单调函数,应用阿贝尔判别法较为有效.
参 考 文 献
[1]华东师范大学数学系.数学分析下册[M].北京,高等出版社,2001.
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[4]关冬月.关于一致收敛的几个问题[J].内蒙古农业大学学报,2003.24 (3)：5-6.
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