学海网

配对四格表资料的条件Logistic回归模型的Bayes分析

【摘要】  用Bayes理论探讨配对四格表资料的条件Logistic回归模型的参数估计和假设检验问题。

【关键词】  配对四格表;条件Logistic回归模型;Bayes

　配对四格表资料的一般格式如表1所示。表1 配对四格表资料的一般格式对照病 配对四格表资料的条件Logistic回归模型为logitP=βx，其中x为暴露因素，暴露时x=1，非暴露时x=0。我们知道ln(p1/(1-p1)p0/(1-p0))=logitP1-logitP0=β，即ln(OR)=β。用配对四格表直接计算的OR=cb ，即OR=cb=c/(+c)b/(b+c)=p1-p，很明显，此处p为二项分布B(n,p) 中的参数p，其中n=b+c 。学海网(www.xuehai.net)在此基础上，我们可以利用p 的Bayes估计进而得到β的估计，同样的，我们可以用Bayes方法对假设检验问题H0:OR=1vsH1:OR≠1 即H0: p12vs H1: p≠12 进行研究，进而得到有关假设检验问题H0:β=0 vs H1: β≠0 的结论。

　　1 p 的Bayes估计

　　X～B(n,p) ，x为从B(n,p) 中抽得的样本，我们取贝塔分布Be(12,12)

　　作为p 的先验分布，由共轭先验分布可知，这时p 的后验分布仍为贝塔分布Be(12+x,12+n-x) ，这时p 的后验期望估计E=12+x1+n ，由此可得=ln(12+x12+n-x) 。

　　2 p 的Bayes假设检验

      X～B(n,p) ，x为从B(n,p) 中抽得的样本，现考虑假设H0:p=12vs H1: p≠12。我们取p 的先验密度为π(p)=π0I12(p)+π1g1(p) ，其中I12(p) 为p=12 的示性函数，π1=1-π0 ，g1(p) 为贝塔分布Be(12,12) 的密度函数。x 对g1(p)的边缘密度为：m1(x)=Γ(1)Γ(12)Γ(12)〖JF(Z〗10Cxnpx(1-p)n-x〖JF)〗p-12(1-p)-12dp=CxnΓ(x+12)Γ(n-x+12)Γ(12)Γ(12)Γ(n+1) ，于是贝叶斯因子为：Bπ(x)= P(x|p0)m1(x)=　　(12)nΓ(12)Γ(12)Γ(n+1)Γ(x+12)Γ(n-x+12)=n!x!(n-x)!(2x)![2(n-x)]!，后验机会比为a0a1= π0 P(x|p0)π1m1(x)=π0n!x!(n-x)!π1(2x)![2(n-x)]! 。当后验机会比a0a1>1时，接受H0:p=12 ，即接受H0:β=0 ;当a0a1<1 时，接受H1:p≠12 ，即接受H1:β≠0 ;当 a0a1≈1时不宜作判断，尚需进一步抽样或收集先验信息。

　　3 例题

　　例：为探讨软组织肉瘤与接触苯氧乙酸或氯粉的关系，某单位做了一项 病例?捕哉昭芯浚?数据如表2所示。表2 软组织肉瘤与接触苯氧乙酸或氯粉的关系对照病 由前面的讨论可知：(1)p 的Bayes估计为E=12+x1+n=12+161+20=16.521，=ln16.54.5≈1.2993 ，条件Logistic回归方程为logitP=1.2993x 。(2)取π0=12 ，在本例中n=20,x=16 ，则后验机会比为a0a1= π0n!x!(n-x)!π1(2x)![2(n-x)]!=20!16!4!32!8!=1.1515×10-7<1 ，应接受H1:p≠12 ，即接受H1:β≠0 。条件Logis??tic回归方程logitP=1.2993x 有统计学意义。

【参考文献】
  　1 茆诗松. 贝叶斯统计. 北京：中国统计出版社，1999，1～118.

　　2 刘仁权. SPSS统计软件. 北京：中国中医药出版社，2007，130～132.

　　3 茆诗松，王静龙，濮晓龙. 高等数理统计. 北京：高等教育出版社 施普林格出版社，1998，10～11.

　　4 陈峰. 医用多元统计分析方法. 北京：中国统计出版社，2000，83～111.