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6份中国石油大学2007-2012学年第1学期《高等数学》期末试卷及答案
2007—2008学年第一学期 高等数学（2-1）期末试卷(A)参考答案
一、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）：
1． .
2．设函数其中在内可导，则
3. 设,则
4．
5．
6．微分方程的通解为.
二、选择题 (本题共4小题，每小题3分，共12分)
1．设为可导的奇函数，且，则（ ）.
(A) ； (B) ； (C) ； (D) .
2. 设函数 在点 的某邻域有定义，则在点 处可导的充要条件是（ ）.
（A）； （B）；
（C）； （D）函数在点 处连续.
3. 下图中三条曲线给出了三个函数的图形，一条是汽车的位移函数，一条是汽车的速度函数，一条是汽车的加速度函数，则（ ）.
（A） 曲线是的图形，曲线是
的图形，曲线是的图形；
（B） 曲线是的图形，曲线是
的图形，曲线是的图形；
（C） 曲线是的图形，曲线是
的图形，曲线是的图形；
（D） 曲线是的图形，曲线是的图形，曲线是的图形.
4. 设是内的可导函数，、是内任意两点，则( ).
（A），其中为内任意一点　；　
（B）至少存在一点，使；
（C）恰有一点，使；
（D）至少存在一点，使.
三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）
解 由题意，有
2. 求极限
解
求定积分
解
求广义积分
解 令则
四、解答题（本题共4小题，每小题6分，共24分）
1. 设函数是由方程所确定的函数，求.
解 方程两边关于 求导，得
2．设函数，求的原函数.
解 的原函数
3．求微分方程的通解．
解 先求齐次微分方程的通解，，
令代入方程 得，，
故为所求的通解．
4．判断曲线的凸性与拐点.
解 函数定义域为，，，
无解，而不存在，
当时，，曲线在上凸；当时，，曲线在下凸.
为曲线的拐点.
五、应用题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
1.曲线及轴围成一平面图形,求此平面图形绕轴旋转而成的立体的体积.
解 二曲线的交点为，
2.求曲线位于第一象限部分的一条切线，使该切线与曲线以及两坐标轴所围图形的面积最小.
解 设曲线上的点处的切线与曲线以及两坐标轴所围图形的面积最小，因为，切线方程即为则
切线方程又可表为，
（把代入） ，
,
令得，，
故所求切线的方程为：，即.
3．有一半径为的半圆形薄板，垂直地沉入水中，直径在上，且水平置于距水面的地方，求薄板一侧所受的水压力.
解 取坐标系如下图所示，圆的方程为，，对应小窄条所受压力微元为：，其中是水的密度，是重力加速度.
六、证明题（本题4分）
证明方程在内必有唯一实根,
并求 .
证 令，显然在连续，由零点定理，方程在内必有实根.
又
在严格单增，故方程在内有唯一实根.
即 方程在内必有唯一实根.
设是方程在内的唯一实根，即，
，考虑数列，则，即单调有界，根据单调
有界原理，存在，设，由得
，两边取极限，得（注意），即.
2008—2009学年第一学期 高等数学（2-1）期末试卷(A)参考答案
一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).
（1） .
（2）曲线上与直线平行的切线方程为.
（3）已知，且, 则.
（4）曲线的斜渐近线方程为.
（5）微分方程的通解为 .
二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分).
（1）下列积分结果正确的是（ D ）
(A) (B)
(C) (D)
（2）函数在内有定义，其导数的图形如图1-1所示，则（ D ）.
(A)都是极值点.
(B) 都是拐点.
(C) 是极值点.，是拐点.
(D) 是拐点，是极值点.
图1-1
（3）函数满足的一个微分方程是（ D ）.
（A） （B）
（C） （D）
（4）设在处可导，则为（ A ）.
(A) . (B) . (C) . (D) 不存在 .
。。。。。。