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4份东莞理工学院2008~2010学年《高等数学(A)II》试卷及答案
一、选择题（共27分 每小题3分）
1．设，分别为直线，的方向向量，则与垂直的充要条件是 （A ）
（A） （B）
（C） （D）
2．通过点（2，4，-3）且与平面平行的平面方程是 （ B ）
（A） （B）
（C） （D）
3．Yoz平面上曲线绕轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 ( C )
（A） （B）
（C） （D）
4．二元函数的定义域为 （ B ）
（A） （B）
（C） （D）
5．交换积分顺序： （ A ）
（A） （B）
（C） （D）
6．空间闭区域由曲面所围成，则三重积分= （ C ）
（A）2 （B）2
（C） （D）
7．函数由方程所确定，则= （ D ）
（A） （B）
（C） （D）
8．幂级数的收敛域是 （ C ）
（A） （B）
（C） （D）
9．已知微分方程的一个特解为，则它的通解是
（ B ）
（A） （B）
（C） （D）
二、填空题（共15分 每小题3分）
1．曲面在点处的切平面的方程是．
2．若，则级数的敛散性是 发散　．
3．级数的敛散性是 收敛（或绝对收敛） ．
4．二元函数，当时的极限等于 0 。
5．全微分方程的通解为_________________．
三、解答题（共54分 每小题6分）
1．用对称式方程及参数方程表示直线
解：因所求直线与两平面的法向量都垂直，于是该直线的方向向量为
(3分)
在直线上找出一点，例如，取代入题设方程组得直线上一点
（4分）
故题设直线的对称式方程为
(5分)
参数方程为
（6分）
2．设，而，，求．
解：
(2分)
(4分)
(6分)
3．求两个底圆半径都等于1的直交圆柱面所围成的立体的体积。
解：设两个圆柱面的方程分别为
（2分）
由于对称性，只要算出它在第一卦限部分的体积，然后再乘以8即可。
（4分）
（5分）
从而所求立体的体积为 （6分）
4．计算三重积分，其中是平面
　及曲面所围成的区域（提示：利用柱面坐标计算）．
　解： (2分)
（5分）
（6分）
5．计算曲线积分，其中是在曲线上由到点的有向弧段．
解法1：添加有向辅助线段，有向辅助线段与有向弧段围成的闭区域记为，根据格林公式 （2分）
(4分)
(6分)
解法2：直接求曲线积分
6．求表面积为而体积为最大的长方体的体积。
解法1：设长方体的长、宽、高分别为，则题设问题归结为约束条件
下，求函数（均大于0）的最大值。 （2分）
作拉格朗日函数
（4分）
由方程组
（5分）
进而解得唯一可能的极值点
由问题的本身意义知，该点就是所求的最大值点。故该问题的最大体积为
（6分）
解法2：从条件中解出z代入目标函数中，再用无条件极值的办法求解。
7．计算，其中为平面被柱面所截的部分。
解：积分曲面的方程为，它在面上的投影为闭区域
（2分）
又
所以 = （4分）
== （5分）
= （6分）
8．求幂级数的和函数。
解： 该幂级数的收敛域是。 （ 2分）
设其和函数为，即
因为，且
（4分）
由积分公式，得
（5分）
因题设级数在处收敛，所以
（6分）
9．求微分方程的通解。
解：令 则原方程变为
（2分）
分离变量后积分得 （4分）
则， （5分）
故原方程的通解为 （6分）
四、证明题（4分）
证明：若函数在上连续，，令，则
证：已知在连续，，设
（2分）
因为在连续，所以，有
（3分）
又因为在上连续，所以有
即 （4分）

东莞理工学院（本科）试卷（A卷）2008--2009 学年第二学期《高等数学(A)II》试卷
东莞理工学院（本科）试卷（B卷）2008--2009 学年第二学期《高等数学(A)II》试卷
东莞理工学院（本科）A卷试卷2009--2010 学年第二学期《高等数学AII(本)》试卷
东莞理工学院（本科）B卷试卷2009--2010 学年第二学期《高等数学AII(本)》试卷