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随机前沿成本函数模型及应用

【摘要】  目前我国进行医疗体制改革，医院的运行效率问题引起极大关注.特别是对反映管理水平的成本效率，更是业内热点问题。应用随机前沿成本函数模型对我国73家大型综合医院的成本效率进行分析。结果表明，我国大型医院医疗服务的成本效率平均得分在0.9以上，表明我国大型医院医疗管理水平是比较高的，与其发展规模是相匹配的.同时也分析了造成低效率的影响因素。

【关键词】  随机前沿模型; 成本函数; 成本效率

上世纪90年代以来，在经济利益的驱使下，我国出现了很多大型综合医院，这些大型综合医院具有床位规模大、设施先进、医务人员素质高、诊断治疗费用高和政府投入资金多等显著特点[1]。由于大型综合医院是一个地区卫生系统的重要组成部分，其直接影响着所在地区卫生服务的发展水平，因此人们逐渐对大型医院的投入所产生的效果产生了极大关注。学海网(www.xuehai.net)如何使大型综合医院在较少的投入下取得最大的产出，尽量减少不必要的支出，提高其资源利用效率成为政府和医院面临的共同问题，所以对大型综合医院的效率研究是十分必要的。

　　考虑医院的投入和产出的特点，在现有的产出(如病人)确定条件下，来考察对医院的投入量，即测量医院效率时适合采用随机前沿成本模型。我国已有学者采用随机前沿成本模型对医疗机构的效率进行了研究[2～4]，但他们研究普遍存在的缺陷是模型选用的成本函数形式不合理。本研究则对这方面进行了改进,并对各大型综合医院进行技术效率评价，并运用多元回归法对低效率产生原因进行分析和研究。建立科学的医院效率测算方法，了解医院低效率程度、原因与环节，提出相应的改进对策，对提高医院医疗资源利用效率与可持续发展能力，提供理论依据。

　　1 随机前沿成本模型[5]

　　1.1 模型的建立

　　设进行了N 次观测(Xi,Yi) ，随机前沿成本模型为：

　　Yi=X′iβ+vi+ui (ui≥0,i=1,2,…N) (1)

　　这里Xi=(1,Xi1,Xi2,…,Xik)′ ，β=(β0,β1,…,βk)′ 为回归系数，联合误差为εi=vi+ui 。其中，vi 是随机误差项，ui 是低效率误差项，ui 与vi 相互独立。

　　1.2 参数估计

　　参数估计时一般需对误差项ui 和vi 的分布进行假定。假设vi～N(0,σ2v) ，其中0≤σv<∞(i=1,2,…,N) ，而ui 则根据实际选定，一般假设低效率误差项ui(i=1,2,…,N) 是i,i,d 服从半正态分布N+(0,σ2u) ，即正态分布N(0,σ2u) 截取随机变量大于零的部分，其密度函数为：f(ui)=22πσuexp(-u2i2σ2u)Iui≥0 ，其中Iui≥0 为示性函数。

　　由假设ui 和vi 相互独立，则ui 和εi 的联合密度函数为：

　　f(ui,εi)=1πσuσvexp(-u2i2σ2u-(εi-ui)22σ2v) (2)

　　对上式(2)联合密度关于ui 积分得εi 的边际密度：

　　f(εi)=〖JF(Z〗+∞0f(ui,εi)dui〖JF)〗

　　=1πσuσv〖JF(Z〗+∞0exp〖JF)〗(-u2i2σ2u-(εi-ui)22σ2v)dui

　　=22πσuσvexp(-ε2i2σ2)〖JF(Z〗+∞012π〖JF)〗exp(-(σ2ui-σ2uεi)22σ2σ2uσ2v)dui (3)

　　作变换σ2ui-σ2uεiσ2σuσv=t ，则ui=tσuσvσ+σ2uεiσ2,dui=σuσvσdt

　　因而(3)式为2σφ(εiσ-1)Φ(ε,λσ-1) -∞<εi<+∞ (4)

　　这里σ2=σ2u+σ2v,λ=σu/σv ，φ(?)和Φ(?) 分别是标准正态分布密度函数和分布函数。　则相应对数似然函数为：

　　lnψ(y|β,λ,σ2)=N ln2π+ N lnσ-1- 12σ2??Ni=1ε2i+??Ni=1lnΦ(εiλσ-1)(5)

　　对(5)式中各参数求导，并令其为零，得：

　　??lnψ?郸?2=-N2σ2+12σ4??Ni=1(yi-X′iβ)2-λ2σ3??Ni=1 φ(εiλσ-1)Φ(εiλσ-1)(yi-X′iβ)=0(6)

　　??lnψ?郸?=1σ??Ni=1 φ(εiλσ-1)Φ(εiλσ-1)(yi-X′iβ)=0(7)

　　??lnψ?郸?0=1σ2??Ni=1(yi-X′iβ)-λσ??Ni=1 φ(εiλσ-1)Φ(εiλσ-1)=0(8)

　　??lnψ?郸?i=1σ2??Ni=1(yi-X′iβ)X′i-λσ??Ni=1 φ(εiλσ-1)Φ(εiλσ-1)X′i=0

　　(i,=1,2,…k)(9)

　　再相应求出lnψ 中各参数的2阶偏导数，用Newton??Raphson迭代方法求解，得到 β，λ和σ2 的估计值。

　　1.3 模型假设检验

　　模型的检验采用似然比方法。

　　设变差率 γ=σ2uσ2u+σ2v

　　其中σ2v 、σ2u 分别表示随机误差项vi 和低效率误差项ui 的方差。

　　根据对零假设H0 :γ=0 的假设检验结果判断前沿成本模型是否成立。

　　假设θ是待估计的前沿成本函数的参数向量,变差率γ=0 是对这些参数施加的约束条件。令θ0 是此约束条件下θ 的最大似然估计, θ1是无约束条件下θ 的最大似然估计。

　　L(θ0) 和L(θ1) 是在这两个估计处的似然函数值,其似然比：

　　LR=-2ln[L(θ0) / L(θ1)]=2[lnL(θ1)-ln L(θ0)](10)

　　需要说明的是,由于变差率γ 的取值空间为[0,1] , 在零假设中变差率γ=0 是位于参数空间的边界上,所以统计量LR 渐近服从混合χ2 分布，自由度n 为约束的个数[6]。如果单边似然比统计量LR 值大于混合χ2 分布的临界值,则H0 被拒绝,就可以认为该随机前沿成本模型成立,成本低效率项是客观存在的。

　　1.4 成本效率值的计算

　　在联合误差因子εi 给定条件下，用CEi=E(ui | εi) 表示各评价单元的成本效率值。

　　由(2)式和(4)式得，在给定εi 条件下，ui 的条件分布密度为函数：

　　f(ui | εi)=f(ui,εi)f(εi)=σ2πσuσvΦ-1(εiλσ-1)exp (u2i2σ2u-(εi-ui)22σ2v+ε2i1σ2)

　　条件期望为：

　　E(ui|εi)=〖JF(Z〗+∞0uif(ui | εi)dui〖JF)〗

　　=σ2πσuσvΦ-1(εiλσ-1)〖JF(Z〗+∞0ui〖JF)〗exp (-[σ2u(εi-ui)-σ2v ui]22σ2u σ2v σ2)dui (11)

　　作变换σ2u(εi-ui)-σ2v uiσu σv σ=t ，

　　则 ui=σ2uεi-tσuσvσσ2,dui=-σuσ uσ)dt

　　因而(11)式为：

　　σ2πσuσvΦ-1(εiλσ-1)〖JF(Z〗+∞εiλσ-1σ2uεi-tσuσvσσ2e-12t2(-σuσvσ)dt〖JF)〗

　　=1σ2?σ2uεi+σuσvσ?φ(εiλσ-1)Φ(εiλσ-1)=λσ1+λ2[εiλσ-1+φ(εiλσ-1)Φ(εiλσ-1)]

　　这里σ2=σ2u+σ2v ，λ=σu / σv ,φ(?)和Φ(?) 分别是标准正态分布密度函数和分布函数。

　　2 实例分析

　　数据资料主要来源于卫生部统计信息中心2006年统计报表中的部分数据，以及一些相关省、市2006年的《卫生统计年鉴》。

　　2.1 变量确定与模型构建

　　根据成本函数的意义，经过对各项指标的初步筛选，最后确定与医疗服务成本有关的3种变量。其中，产出变量(y) ：包括年门诊人次(y1) 、年出院人次(y2); 产出特征变量：治愈率(y3) 和住院患者平均住院日(y4) 。它们反映了的医院的医疗服务水平和质量，间接地反映了产出水平。投入价格要素变量(w) ：包括每床日费用(w1) 、每床建筑面积(w2) 和人均经费(w3) 。它们分别反映了固定资产和人力投入方面的价格因素。总成本变量：用总支出(C) 表示。

　　对这些指标的统计描述见表1。表1 各指标变量的统计描述

　　根据医院医疗服务投入产出的特点，建立基于柯布?驳栏窭?斯(Cobb??Douglas) 成本函数的随机前沿模型：

　　lnCi=α+β1lny1i+β2lny2i+β3lny3i+β4lny4iβ5lnw1i+β6lnw2i+β7lny3i+vi+ui (12)

　　式中，vi 为随机误差项，服从N(0,σ2v) ，ui 为低效率误差项.下面我们在ui 为半正态分布假设下，建立模型进行评价。

　　按照成本函数投入价格要素的线性同质性要求，将约束条件β5+β6+β7=1 代入(12)式得：

　　lnCiw3i=α+β1lny1i+β2lny2i+β3lny3i+β4lny4i+β5lnw1iw3i+β6lnw2iw3i+vi+ui (13)

　　2.2 统计结果

　　对73所医院随机前沿成本模型参数估计及假设检验，结果见表2。表2 低效率误差分布条件下模型的统计结果注: * 表示在0.01水平上具有显著性。

　　由表2可见，低效率误差ui 在半正态分布假设下检验γ=0 ，约束条件为1个，故似然比统计量LR～minχ2(1) (minχ20.01(1)=5.412 )[6]。可以看出，似然比统计量LR在0.01显著性水平上,随机前沿成本模型在半正态分布假设下成立。

　　模型中,各项指标中只有治愈率指标无统计学意义，其它指标均有统计学意义，而且回归系数为正，表明该指标增长，将会带来成本的增加。

　　根据前沿成本的意义，各评价单元的效率值以CEi=exp(-) 方法计算。各评价单元的平均效率值为0.90，所得效率值达到0.9以上的评价单元占76.71%，各评价单元具体所得效率值的频数分布如表3。表3 评价医院效率值的频数分布

　　2.3 低效率影响因素分析

　　为进一步寻找我国大型综合医院医疗服务成本效率低下的原因，以每所医院低效率残差作为因变量，以可能影响低效率的潜在因素为自变量，建立回归方程：

　　eu=b0+b1X1+b2X2+ …+ bpXp

　　采用逐步回归的方法，选取了5个变量，结果见表4。表4 医院技术效率影响因素回归分析

　　回归方程的决定系数为0.48,解释能力一般。在5项指标中，病床使用率、卫技人员的比例和所在地区医院数量的回归系数都是负值，说明提高病床使用率，适当增加医院数量和提高卫生技术人员的比例，将会减少由于低效率造成的损失。而医院所在地区人口数和财政补助额回归系数都是正值，对低效率有正向影响。也就是说，所在地区人口的增加会使医院效率降低;而财政补助额越多，因低效率而导致的浪费越多。

　　3 讨论

　　医疗服务是以高技术、高知识的人力资源作为主要是投入成本，其效率不单纯表现为数量和收益的高低，还表现为质量的提高,病人满意度的提高。采用单一指标分析评价医院效率，损失信息多，且缺乏科学。而采用随机前沿成本模型，从多个角度测量医院投入和产出的效率，科学性强.建立这种科学的医院效率测量方法，对提高医院医疗服务管理水平具有重要意义。通过实证研究表明，我国的大型综合医院总体上医疗服务的成本效率较高，反映医院的医疗服务和管理水平普遍较高，与它们现有规模是比较匹配的。只有个别的医院，医疗服务的成本效率较低，粗放型管理模式仍然存在，医疗资源利用不足。

　　此外本研究在低效率误差服从半正态分布的假设下，建立随机前沿成本模型。当然我们也可以假定低效率误差服从其他的分布，如指数分布、伽玛分布、截尾正态分布等，这要根据实际情况而定.这时，极大似然估计式及低效率估计式都要作相应的改变。实际上，对于低效率误差分布未知情形，一般在没有专业经验或没有充分根据时，将其设定为半正态分布是一个较为稳妥的办法，并且统计计算过程也相对简单。

【参考文献】
  　　1 钟国伟，钟仁昌.论巨型医院的成因、问题和治理.卫生经济研究，2008，2：3～5.

　　2 吴明,李曼春,侯建林,等.随机前沿成本函数方法在医院经济效率评价中的应用.中华医院管理杂志,2000,16:507～509.

　　3 王伟成, 曾武, 邴媛媛.随机前沿成本模型在中医院技术效率评价中的应用.中华医院管理杂志,2005,21: 216～218.

　　4 刘启贵,宋桂荣,禹海波,等.随机前沿方法在评价医院效率中的应用.中国卫生统计,2005,22:303～305.

　　5 Aigner D., K. Lovell, K. and P. Schmidt. Formulation and estimation of stochastic frontier function models. Journal of Econor?? metrics, 1977, 6: 21～37.

　　6 David A. Kodde and Franz C. Palm. Notes and commemts Wald criteria for jointly testing equality and inequality restrictions. Econometrica,1986, 54:1243～1248.