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应用灰色系统GM(1,1)模型预测甲型病毒性肝炎发病率

              作者：胡建利 梁 祁 吴 莹 张永杰 艾 静 刘文东 胡月梅 

【摘要】  目的： 探讨预测江苏省甲肝发病率的数学模型，为甲肝防制工作提供科学的参考依据。方法：利用1999～2007年江苏省甲肝的发病率资料建立GM(1,1)预测模型，并进行模型评价。结果：甲肝发病率的GM(1,1)模型为 ，拟合效果较好，同时利用模型外推预测了2008年的甲肝发病率，预测准确。结论： 如无较大规模的甲肝爆发，运用此预测方法较为方便适用。

【关键词】  灰色系统; GM(1,1)模型; 甲型肝炎; 预测

传染病预测是卫生工作中一项重要工作，其对防病、治病和制定卫生决策都有十分重要的意义，而选择最优的预测模型是准确预测传染病发病水平、持续有效地开展传染病防制工作的重要前提。学海网(www.xuehai.net)本研究试用灰色系统GM(1,1)模型对我省甲型病毒性肝炎(以下简称甲肝)发病率进行了预测研究，效果满意，现报告如下。

　　1 资料和方法

　　1.1 资料来源

　　1999～2003年度的甲肝统计数据来源于江苏省法定传染病年报表，2004～2008年的甲肝统计数据来源于江苏省疾病监测信息报告管理系统。

　　1.2 方法和原理

　　1.2.1 灰色系统GM(1,1)模型的基本思想 将无规律的原始数据累加生成后，使其变为有规律的生成数列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和状态[1]。

　　1.2.2 GM(1,1)模型的建模过程[2]

　　① 累加生成

　　设原始数列Xt(t=1,2,…,n)，对其进行一次累加生成数列Yt，即

　　Yt=??nt=1Xt (t=1,2,…,n) (1)

　　② 均值生成

　　对累加生成数列Yt按公式(2)作均值生成，即

　　Zt=12(Yt+Yt-1) (t=2,3,…,n) (2)

　　③ 建立GM(1,1)模型

　　Yt估计值t 的一阶线性微分方程为：

　　dtdt+at=μ (3)

　　④ 解微分方程

　　t=(Xt-μa)e-a(t-1)+μa (t=1,2,…,n)(4)

　　式中a 和μ是待定参数，根据最小二乘法估计参数为：

　　a=[(??Xt) (??Zt)-n(??Zt Xt)]/ D (5)

　　μ=[(??Xt) (??Z2t)-(??Zt) (??Zt Xt)]/ D (6)

　　D=n(??Z2t)- (??Zt)2 (7)

　　⑤ 估计值的计算

　　t=t-t-1 (t=1,2,…,n) (8)

　　1.2.3 模型的检验：

　　设残差δt=Xt-t ，S1为原始数据序列的标准差，S2为残差的标准差，

　　S1=??nt=1(Xt-)2N, 其中 为原是数列的均值(9)

　　S2=??nt=1(δt-)2N, 其中 为残差的均值(10)

　　计算后验差比值C= S2/ S1 (11)

　　小误差概率为P { |δ(t)-| <0.6745S1} (12)

　　根据C值及P值的大小，综合评价模型的拟合效果，常用的拟合精度等级见表1[3]。 若预测精度的等级达到一定的要求，可按式(4)和(8)进行外推预测。表1 拟合精度等级表

　　2 结果

　　2.1 建立GM(1,1)模型

　　江苏省1999～2007年甲肝的发病率数列为X={11.7062，7.1136, 5.9021, 4.6907, 4.0355, 4.7631, 3.3599,3.06893, 3.1510 } ，设其时序分别是1、2、3…9，按公式(1)和(2)进行累加生成和均值生成，得到数列Yt和Zt，并计算，见表2。表2 1999～2007年江苏省甲肝发病率(1/10万)根据公式(4)～(7)求出：a=0.126 ，μ=8.608 ，D=6468.346，则GM(1,1)预测模型为：

　　t=-56.683e-0.126(t-1)+68.389 (t=1,2,…,n) (13)

　　2.2 模型的检验

　　令t=1,2,…,9 代入公式(13)得到各个时序的t ，然后按公式(8)还原得到模型的拟合值，见表3。表3 1999～2007年江苏省甲肝发病率(1/10万)的年份时序t发病率的模据公式(9～12)计算得到S1=2.746，S2=0.427，则后验差比值C=0.16，小误差概率p=1。对照表1预测精度为好，可以用于外推预测。

　　2.3 模型的外推预测

　　预测2008年，该年度时序为10，代入公式公式(13)得：10=-56.683e-0.126×(10-1)+68.389=50.1310 ，则GM(1,1)模型预测2008甲肝发病率X10=50.1310-47.6819=2.4491。

　　实际该年甲肝发病率为2.5613/10万。预测值与实际值相比，其相对误差仅为0.04，预测准确。

　　3 讨论

　　灰色系统理论是中国学者邓聚龙教授于20世纪80年代创立的，该理论认为：任何随机过程都可以看作是在一定时空区域变化的灰色过程，随机量可以看作是灰色量，无规的离散时空数列是潜在的、有规序列的一种表现，通过生成变换可将无规序列变成可以满足灰色建模条件的有规序列[1]。

　　由于传染病发病率受到许多不确定因素的影响，因此可将其看作一个处于动态变化之中的灰色系统，采用灰色模型进行预测。灰色预测是基于微分方程的预测，在实际预测中所采用的多为一阶一元灰色模型，即GM(1,1)模型。它以独特的数学方法把难以描述的理论作为灰色理论来处理，弱化随机因素的干扰，从杂乱无章的现象中揭示事物的发展规律，对样本容量和概率分布没有严格要求，模型简单，预测效果好，使用于对流行因素较稳定的疾病进行短期预测[4]。

　　本研究通过江苏省1999～2007年甲肝的发病率资料，建立灰色系统GM(1,1)模型，模型检验显示，建立的预测模型较好;同时利用模型外推预测了2008年的甲肝发病率，预测值与实际值相比，其相对误差仅为0.04，预测准确。因此，应用该模型能较好地预测江苏省甲肝的近期流行趋势。根据本研究资料，在未来的几年内，如全省无较大规模的甲肝爆发，此预测方法较为方便适用。

【参考文献】
  　1 王丙刚,曲波,郭海强,等.传染病预测的数学模型研究.中国卫生统计,2007,24(5):536～540.

　　2 陈青山,王声??,迟桂波,等.应用EXCEL完成性病GM模型的预测和评价.疾病控制杂志, 2003,7(5):451～453.

　　3 唐勤,张复新,艾维莉,等.应用灰色系统对乙型病毒性肝炎发病率的预测研究. 数理医药学杂志,2007,20(4):441～443.

　　4 胡世雄,邢慧娴,邓志红.我国传染病的预测预警现状.中华预防医学杂志, 2004,41(5):407～410.