学海网

《矩阵论》21讲word知识讲义
第一讲 线性空间

一、线性空间的定义及性质
[知识预备]
★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体。
集合的表示：枚举、表达式
集合的运算：并（），交（）
另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。
★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。

1．线性空间的定义：

……

第二讲 线性子空间

第三讲 线性变换及其矩阵
第四讲 矩阵的对角化

元素 坐标向量
加法 元素加法 坐标向量的加法
数乘 数与元素“乘” 数与坐标向量相乘
线性变换及其作用 对应关系 矩阵与坐标列向量的乘积

对任何线性空间，给定基后，我们对元素进行线性变换或线性运算时，只需用元素的坐标向量以及线性变换的矩阵即可，因此，在后面的内容中着重研究矩阵和向量。

对角矩阵的形式比较简单，处理起来较方便，比如求解矩阵方程时，将矩阵对角化后很容易得到方程的解。对角化的过程实际上是一个去耦的过程。以前我们学习过相似变化对角化。那么，一个方阵是否总可以通过相似变化将其对角化呢？或者对角化需要什么样的条件呢？如果不能对角化，我们还可以做哪些处理使问题变得简单呢？

一、特征值与特征向量
1. 定义：对阶方阵，若存在数，及非零向量（列向量），使得,则称为的特征值，为的属于特征值的特征向量。
特征向量不唯一
特征向量非零

……

第五讲 对角化与Jordan标准形
第六讲 Jordon 标准形的变换与应用
第七讲 矩阵级数与矩阵函数
第八讲 矩阵函数的求法
第九讲 矩阵微分方程
......
第十九讲 范数理论及其应用
第二十讲 矩阵特征值估计
第二十一讲 广义特征值与极小极大原理