相同元素和不同元素对计数和概率的影响小议
相同元素和不同元素在有的书上又被称为"不可辨元素"，"可辨元素 "，就是说看待相同元素时是辨别不出来的，计数时结果会少一些，但不同元素计数时结果就相应的多了。但字面上的相同不等同于实质上的不可辨，字面上的不同有时又可策略地使之相同，不需要辨别。本文针对计数问题和概率计算中出现的一些因元素相同与不同而引起的争议阐述了自己的观点，并不权威，权且争鸣，希望各位同行提出宝贵意见。
问题：8个完全相同的小球放入三个标号分别为1，2，3的盒子里，问8个小球都放入1号盒子的概率是多少？其中1个小球放入1号盒子，其他7个小球都放入2号盒子的概率呢？
我们在用等可能事件概率公式P= 求事件的概率时，要注意使用的前提是事件为等可能事件，但具体问题中事件是不是等可能的要看事件发生的可能性是否相等，如果不是等可能的要想办法转化为等可能的事件来处理 。拿掷一枚硬币两次这个事件来说，就有人认为基本事件的总数是三个，即"正正"，"正反"，"反反，"现在我们都认同的是这里的事件"正反"和其他的两种情况不是等可能的，那么如何转换不等可能事件为等可能事件呢，我认为需要把不等可能的事件细分到等可能的基本事件上。不管从理论上还是从实践上，事件"正反"细分上应该是"正，反"，"反，正"这两个基本事件，而样本空间是"正，正"，"正，反"，"反，正"，"反，反"这四种基本事件，它们才是等可能出现的。
注意到问题中提到的8个小球是形状大小颜色完全相同的，有种意见就认为它们是相同元素，把这些小球放入标有序号的三个盒子里的基本事件总数是45种，即按两个空盒，一个空盒，无空盒分三类，分别是C31，C31 C71，C72种，后两类是用插板法计算的。而且认为这45种情况是等可能出现的，所以问题中的两问答案都是1/45.
我认为这种观点错误！ 这些小球虽然表面上看上去完全相同，但它们是作为物质世界的实体形式出现的，并不是相同元素。
我这里提一个"物质元素"， "抽象元素"的概念来形象地区分一下不同元素和相同元素。莱布尼茨说："世界上没有完全相同的两片树叶"，凡是问题中涉及到的元素是世界上客观存在的实物个体，比如球，书本，人等等这些都是"物质元素"，不管说它们彼此完全相同还是不同，我们考虑概率时都要把它们看作是"不同元素"，是可以并需要辨别的；而"抽象元素"就是经过抽象概括而得到的一些名词概念，比如说数字1，2，3，……，字母图形符号"a,b,c"， "△，□，☆"，还有名额，荣誉称号，颜色等等这些元素，考虑排列组合概率时它们就是货真价实的"相同元素"，是不可辨的。
"物质元素"既然是"不同元素"，考虑概率时就要看如何算才是等可能的。意见中提到事件分三类，这三类事件的概率就不是等可能的。8个小球都放入1个盒子的可能性显然比分别放入三个盒子的可能性小。我们把小球看成是不同元素，每个小球放入盒子都有三种等可能结果，根据分步计数原理，基本事件总数是38种，因此8个小球都放入1号盒子的概率是1/38，而1号盒子放一个，2号盒子放7个的概率是8/38，显然不是等可能的。（注：也可以按独立重复试验来计算）
从这个角度出发，假如把问题改成"把8个字母a填入三个格子里，问1号格子里填8个a以及1号格子填一个a,2号格子填7个a的概率，则因为是"抽象元素"，视为相同不可辨的元素，从而基本事件就是45种，这两种结果都是等可能的，概率都是1/45.
但需要说明的是，如果只是要求计数，而不考虑概率时，我们还得看问题是从哪个角度提的。下面从不同方向来设问：⑴ 8个分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8的小球放入三个标有1，2，3号的盒子里，有多少种不同放法？答案是38 种，侧重球彼此不同；⑵ 8个完全相同的小球放入三个标号为1，2，3的盒子里，有多少种不同放法？答案是45种，小球虽是"物质元素"，但没有提及是否等可能，只涉及放置的种类，此时按相同元素来处理。⑶ 8个完全相同的小球放入三个标号为1，2，3的盒子里，有多少种等可能的不同放法？答案变成了38，因为强调等可能的放，与概率相关。⑷ 8个三好学生的名额分到三个班级里，有多少种不同分法？答案45种，8个名额是"抽象元素"，属于相同元素，分法和⑵中的方法相同。
总之，如果只是计数，不论是物质元素还是抽象元素，都可能按相同元素来求，但如果计算概率，我认为从等可能的原则上还是按物质元素是不同元素来算，而抽象元素是相同元素来算为好。
