浅谈数学原理的教学
摘要：数学原理的教学是数学教学的重要内容之一。数学原理的学习形式主要有由例子到原理的学习和由原理到例子的学习两种形式。促进数学原理学习的教学建议有：提供丰富的例子，联系已学过的知识，让学习运用原理。促进定理和性质学习的教学建议主要有揭示结论的发现过程和揭示证明思路的探索过程两个方面。
关键词：数学原理；数学公式；数学定理；数学法则；教学建议
一、什么是数学原理的教学
原理有两个方面的含义。作为言语符号信息，它是对概念之间关系的描述；从心理意义上说它是一种操作反应系统，即主体在情境中根据各种关系作出相应的反应。
原理描述了概念之间的关系，这种关系是稳定不变的，其形式是“若……则……”。习得这种关系的主体能以一类操作行为对一类刺激情境作出反应，即学生习得了“若……则……”这一产生式。例如，学生习得勾股定理这一原理之后，一旦出现符合勾股定理条件的刺激情境，学生都会作出“斜边的平方等于两条直角边的平方之和”的反应。关于原理的学习，有以下结论。
（1）原理学习实际上是学习一些概念之间的关系。因此，概念学习是原理学习的基础，不掌握构成原理的各个概念，就不可能习得这一原理。
（2）原理学习不是习得描述原理的言语信息，而是习得原理的意义，它是一种有意义的学习。根据奥苏贝尔的有意义言语学习理论，原理学习分为下位学习、上位学习和组合学习。
（3）原理学习实质上是习得产生式。只要条件信息一满足，相应的行为反应就自然出现。学习者据此指导自己的行为并解决遇到的新问题。
（4）习得原理不是孤立地掌握一个原理，而是要在原理之间建立联系，形成原理网络。
二、数学原理学习的形式
在数学学习中，习得原理不仅意味着习得描述原理的言语信息，而且能根据原理对一类刺激作出相应的反应，也就是说能在特定的情境中应用原理。一旦学生掌握了数学原理，就能用大量的例证来说明原理所反应的关系，或运用原理解决特定情境下的问题。在数学课堂教学中，数学原理的学习一般有两种形式，即由例子到原理的学习和由原理到例子的学习。
1． 由例子到原理的学习
由例子到原理的学习是指从若干例子中归纳出一般结论的学习。它是一种发现学习，这种学习方法简称为“例子—原理法”。
2． 由原理到例子的学习
由原理到例子的学习是指先向学生呈现要学习的原理，然后再用实例说明原理（有时要予以逻辑证明），从而使学生掌握原理的学习。这是一种接受学习。简称为“原理—例子法”。
三、促进数学原理学习的教学建议
数学原理的学习主要是公式和法则的学习、定理和性质的学习。
（一） 促进数学原理学习的一般建议
1．提供丰富的例子
在采用例子—原理法教授原理时，为了使学生顺利概括出原理，需要为学生提供足够多的例证，而在用原理—例子法教授原理时，为了使学生理解原理，也需各种例证来说明原理。因此，不论采用例子—原理法还是使用原理例子法来学习原理，都需要为学生提供丰富的例证。这些例证应尽量涵盖例证的各种典型类别，以利于学生发现原理和全面理解原理。
在为学生提供丰富的例子时，不能仅仅提供原理的例证，还应该提供原理的反例，以强化原理的结构，使学生透彻理解原理。
2． 联系已学过的知识
与概念学习一样，原理学习是有意义的学习，是新旧知识相互作用并形成新的认知结构的过程。因此，促进新原理的学习，就要使学生的认知结构中具备与新原理相关的适当观念。在教学中，教师可以引导学生复习、回忆与原理相关的旧知识，以帮助学生同化新原理。
3． 让学生运用原理
促进原理学习的最有效的办法是让学生在运用原理的过程中掌握原理，因为让学生自己运用原理是原理具体化的过程，而这个过程对于全面、深刻地理解原理极为有利。因此，在原理的学习中，让学生进行练习是极其重要的一个环节。值得注意的是，练习不是越多越好，那种类别单一的重复练习并不有效。要想使学生掌握原理，形成产生式，就要让学生进行变式练习。所谓变式练习，就是在其他有效学习条件不变的情况下，改变命题的例证。在进行变式练习时，应先设置与原先学习情境相似的问题情境进行练习，练习课题之间要保持一定的同一性。随着知识的逐渐巩固，问题类型要有变化，可逐渐演变成与原先的学习情境完全不同的新情境。同时，在练习的过程中，及时给学生提供反馈是十分必要的。及时分析指出学生练习中的错误，可以防止学生将错误巩固下来而积习难改。
（二） 促进公式和法则学习的教学建议
将思维对象和思维结果简单化和符号化是数学思维的重要特征，也是数学工作者所追寻的目标之一。于是在数学中产生了大量的由字母和符号表达的正确命题，人们称之为公式。公式的教学是中学数学教学的重要内容之一，其教学的好坏直接影响着学生知识技能的掌握与能力的培养。要教好公式，应注意以下四个方面。
1．公式的推导
学生在学习数学的过程中，常表现出这样一种心理现象：对于那些经过自己思考、演算、推导出来的结论，比较容易相信和接纳；而对于那些由别人告知的事实与结论，则容易产生怀疑和排斥。因此，在公式的教学中，首先要让学生弄清公式的来龙去脉，尽可能由他们自己推演并发现公式，使学生享受到创造发现的成功与喜悦，为公式的理解、记忆和应用奠定基础。
让学生推导公式，不能只是照书按部就班地推，教师对教材应作适当的加工处理，让学生充分地动脑、动手、动口，这样才会收到事半功倍的效果。
让学生推导公式的另一作用是，它可以帮助学生记忆公式。
另外，在推导公式的过程中，教师要注意揭示所运用的数学思想方法，使学生熟悉并逐渐掌握这些基本的思想方法，以达到举一反三和融会贯通的目的。
2． 公式的理解
理解数学公式也就是理解公式中各个字母的含义以及它们之间的关系。数学公式中的字母，既可以表示数又可以表示代数式。为了使学生理解公式的本质，应让学生用不含字母的语言文字叙述公式的内容，掌握公式中关系的确定性和字母的可变性（数或代数式）。
3． 公式的记忆
（1）理解记忆为本
记忆是以理解为基础的，只有理解了的东西才会经久不忘。要使学生牢固地记住数学公式，就要使学生了解公式的来龙去脉，正确地理解公式，尽量将机械记忆转化为理解记忆。
（2）变通记忆为辅
对于那些推导过程比较复杂的公式，理解记忆常常也不能奏效。此时，不妨用变通的方式来记忆公式。变通记忆就是将所要记忆的公式样符号、字词、外在特征用一些拟人化的生活语、口诀表述出来，以帮助人们记住公式的记忆方法。
（3）注意系统记忆
当要记忆的公式很多时，可以将这些公式进行逻辑整理，抓住它们之间的内在联系，将它们组织起来，形成一个有序的知识网络，以便于记忆。
4． 公式的应用
公式的应用以理解为基础。在应用公式前，要使学生正确理解公式的意义，尤其是公式中字母的可变性。应用公式，不但要会正面用，反过来用，而且还要会变形用。
5． 法则的教学
数学教学中的法则指的是运算方面的法则，大体上可以分为定义型和公式型两种类型。定义型是对有关运算所作的合理规定，它以定义的形式表示出来。比如有理数的四则运算法则、分式的变号法则等就属于定义型的法则。公式型则是经一定的逻辑推理、证明得来的结论，它们具有公式的特点，甚至可以说是公式的语言化。比如分式的四则运算法、极限的四则运算法则等就是公式型的法则。在法则的教学中，应视法则的特点而采用相应的教学方法。因定义型的法则具有概念的特点，故对定义型的法则可按数学概念的教学方法来进行，而公式型的法则可按公式的教学来进行。
在法则的教学中，应使学生熟悉法则的具体内容，在法则的应用上多下功夫，逐步提高运算速度，达到熟练的程度，最终形成运算技能。
（三） 促进定理和性质学习的教学建议
在数学中，根据已有的概念和真命题，按照正确的逻辑推理方法来证明其真实性的命题叫做定理。性质是定理的另外一种形式。在中学数学教学中，定理和性质的教学应使学生理解并记住定理的条件和结论，掌握定理的证明方法，熟悉定理的适用范围。除了这些基本要求之外，教师应将讲课的重点放在揭示定理结论的发现过程及其证明思路的探索过程上。
1．揭示结论的发现过程
教材中大多数的定理和性质都是按“定理—证明—例题—习题”的模式来安排的。为了顾全系统、严密、精炼的原则，而将数学结论的发现过程略去。作为教材这种安排队必要的，无可厚非。但值得注意的是，数学结论的发现实际上经历了曲折的试验、归纳、猜想等一系列探索过程，这个过程是发现者的思维过程。当然，不可能每一个定理都让学生去发现，那样做时间也不允许。但从培养学生的创新意识和科学发现的能力的角度考虑，教师应该根据学生认知的特点和要求，有选择地进行定理的再发现——引导学生重复或模拟定理的发现过程。让学生进行定理的再发现，不仅使学生了解定理结论的由来，强化对定理具体内容的理解和记忆，而且可以充分发挥学生学习的主观能动性，培养学生科学发现的能力。没有今日的再发现训练，哪有明日的真发现呢？
定理结论的发现，一般可在对具体数学对象的观察、测量、计算、作图等试验的基础上去进行归纳、类比、猜想。
2．揭示证明思路的探索过程
教材中的定理和性质的证明已是发现者（或数学家）证明思路的逻辑整理和简化，大部分以综合法的方式书写表达出来。如果教师也按教材的方式灌给学生，那么不但学生理解上有困难，而且也失去了一次发现和探索的锻炼机会。因此，教师在讲解证明时，应着重分析证明的思路，将证明思路的探索过程尽可能地暴露在学生面前，使学生逐步掌握分析问题和解决问题的思想方法。
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