WEAK CONVERGENCE METHODS FOR NONLINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS
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资料简介
WEAK CONVERGENCE METHODS FOR NONLINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS
1 Weak Convergence 6
1.1 Review of Basic Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Convergence of Averages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Compactness in Sobolev Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Embeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Compactness theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3 A Refinement of Rellich’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Measures of Concentration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1 Generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.2 Defect measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.3 A refinement of Fatou’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.4 Concentration and Sobolev inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Measures of Oscillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.1 Generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.2 Slicing measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.3 Young measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Convexity 21
2.1 The Calculus of Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Weak lower Semicontinuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Convergence of Energies and Strong Convergence . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Quasiconvexity 26
3.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.1 Rank-one convexity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.2 Quasiconvexity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Weak Lower Semicontinuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Convergence of Energies and Strong Convergence . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4 Partial Regularity of Minimizers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5.1 Weak continuity of determinants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1CONTENTS 1
3.5.2 Polyconvexity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4 Concentrated Compactness 39
4.1 Variational Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1.1 Minimizers for critical Sobolev nonlinearities. . . . . . . . . . . . . 39
4.1.2 Strong convergence of minimizing sequences. . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Concentration-Cancellation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.1 Critial gradient growth. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 Compensated Compactness 54
5.1 Direct Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.1.1 Harmonic maps into spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.1.2 Homogenization of divergence structure PDE’s. . . . . . . . . . . . 56
5.1.3 Monotonicity, Minty-Browder method in L2
. . . . . . . . . . . . . 58
5.2 Div-Curl Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.3 Elliptic Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.4 Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.4.1 Single equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.4.2 Systems of two equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.5 Generalization of Div-Curl Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6 Maximum Principle Methods 72
6.1 The Maximum Principle for Full Nonlinear PDE . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.1.1 Minty-Browder method in L∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.1.2 Viscosity solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.2 Homogenization of Nondivergence Structure PDE’s . . . . . . . . . . . . . 77
6.3 Singular Perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7 Appendix 82
1 Weak Convergence 6
1.1 Review of Basic Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Convergence of Averages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Compactness in Sobolev Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Embeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Compactness theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3 A Refinement of Rellich’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Measures of Concentration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1 Generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.2 Defect measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.3 A refinement of Fatou’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.4 Concentration and Sobolev inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Measures of Oscillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.1 Generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.2 Slicing measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.3 Young measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Convexity 21
2.1 The Calculus of Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Weak lower Semicontinuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Convergence of Energies and Strong Convergence . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Quasiconvexity 26
3.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.1 Rank-one convexity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.2 Quasiconvexity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Weak Lower Semicontinuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Convergence of Energies and Strong Convergence . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4 Partial Regularity of Minimizers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5.1 Weak continuity of determinants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1CONTENTS 1
3.5.2 Polyconvexity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4 Concentrated Compactness 39
4.1 Variational Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1.1 Minimizers for critical Sobolev nonlinearities. . . . . . . . . . . . . 39
4.1.2 Strong convergence of minimizing sequences. . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Concentration-Cancellation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.1 Critial gradient growth. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 Compensated Compactness 54
5.1 Direct Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.1.1 Harmonic maps into spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.1.2 Homogenization of divergence structure PDE’s. . . . . . . . . . . . 56
5.1.3 Monotonicity, Minty-Browder method in L2
. . . . . . . . . . . . . 58
5.2 Div-Curl Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.3 Elliptic Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.4 Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.4.1 Single equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.4.2 Systems of two equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.5 Generalization of Div-Curl Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6 Maximum Principle Methods 72
6.1 The Maximum Principle for Full Nonlinear PDE . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.1.1 Minty-Browder method in L∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.1.2 Viscosity solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.2 Homogenization of Nondivergence Structure PDE’s . . . . . . . . . . . . . 77
6.3 Singular Perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7 Appendix 82
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