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高等数学习题解答
习题 1−1
1. 设 A=(−∞, −5)∪(5, +∞), B=[−10, 3), 写出 A∪B, A∩B, A\B及 A\(A\B)的表达式.
解 A∪B=(−∞, 3)∪(5, +∞),
A∩B=[−10, −5),
A\B=(−∞, −10)∪(5, +∞),
A\(A\B)=[−10, −5).
2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: (A∩B)
C
=AC
∪B C
.
证明 因为
x∈(A∩B)
C
⇔x∉A∩B⇔ x∉A或x∉B⇔ x∈AC
或x∈B C
⇔ x∈AC
∪B C
,
所以 (A∩B)
C
=AC
∪B C
3. 设映射 f : X →Y, A⊂X, B⊂X . 证明
(1)f(A∪B)=f(A)∪f(B);
(2)f(A∩B)⊂f(A)∩f(B).
证明 因为
y∈f(A∪B)⇔∃x∈A∪B, 使 f(x)=y
因为 x∈A 或x∈B) y∈f(A)或 y∈f(B)
⇔ y∈ f(A)∪f(B),
所以 f(A∪B)=f(A)∪f(B).
(2)因为
......