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湖北大学数学分析习题解答
1．⑴ 证明6 不是有理数 ； ⑵ 3 + 2 是不是有理数 ？
证明 ⑴ 反设6 是有理数 ,即6 可表示为既约分数 , 则有6
和q 互质. 两端平方 ,= q , 有q2 = 6 p2 . 由6是偶数 , ⇒ q2为偶数 .
于是q必为偶数 ,可设q = 2k , 有4k 2 = 6 p2 .⇒ 3p2 = 2k 2 , 即3p2为偶数 ,
而3为奇数 , 因此p2必为偶数 ,于是又有p 为偶数 .
综上 ,得p 和q 必为偶数 . 这与p 和q 互质矛盾 . 因此6 不可能是有理数 .
⑵ 假设3 + 2 是有理数 . 则其平方( 3 2) 5 2 6 2 + = + 应为有理数 .
但由上述⑴的结果 , 6 不是有理数 , 因此2 6 ( 作为有理数与无理数的积 )也
不是有理数 . 于是5 + 2 6 作为有理数与无理数的和也不是有理数 .这与5 + 2 6
应为有理数矛盾 . 因此3 + 2 不是有理数 .
2. 求下列数集的最大数和最小数 ，或证明它们不存在 。
解答 min A = 0 ; 但max A不存在 . 因为对∀x∈ A , 有x +1∈ A且x +1 ﹥ x,
即x 不是数集A 的最大数. 因此数集A 没有最大数.
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