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免费下载实变数的函数论(英文)电子书

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资料简介
实变数的函数论(英文)电子书
1 The topology of metric spaces 13
1.1 Metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Completeness and completion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Normed vector spaces and Banach spaces. . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Compactness. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Total Boundedness. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 Separability. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7 Second Countability. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8 Conclusion of the proof of Theorem 1.5.1. . . . . . . . . . . . . . 20
1.9 Dini’s lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.10 The Lebesgue outer measure of an interval is its length. . . . . . 21
1.11 Zorn’s lemma and the axiom of choice. . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.12 The Baire category theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.13 Tychonoff’s theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.14 Urysohn’s lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.15 The Stone-Weierstrass theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.16 Machado’s theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.17 The Hahn-Banach theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.18 The Uniform Boundedness Principle. . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 Hilbert Spaces and Compact operators. 37
2.1 Hilbert space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.1 Scalar products. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.2 The Cauchy-Schwartz inequality. . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.3 The triangle inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.4 Hilbert and pre-Hilbert spaces. . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.5 The Pythagorean theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.6 The theorem of Apollonius. . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.7 The theorem of Jordan and von Neumann. . . . . . . . . 42
2.1.8 Orthogonal projection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1.9 The Riesz representation theorem. . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.10 What is L2(T)? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.11 Projection onto a direct sum. . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1.12 Projection onto a finite dimensional subspace. . . . . . . . 49
5
6 CONTENTS
2.1.13 Bessel’s inequality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1.14 Parseval’s equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.1.15 Orthonormal bases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2 Self-adjoint transformations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2.1 Non-negative self-adjoint transformations. . . . . . . . . . 52
2.3 Compact self-adjoint transformations. . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4 Fourier’s Fourier series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4.1 Proof by integration by parts. . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4.2 Relation to the operator d
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.4.3 G°arding’s inequality, special case. . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5 The Heisenberg uncertainty principle. . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.6 The Sobolev Spaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.7 G°arding’s inequality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.8 Consequences of G°arding’s inequality. . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.9 Extension of the basic lemmas to manifolds. . . . . . . . . . . . . 79
2.10 Example: Hodge theory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.11 The resolvent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3 The Fourier Transform. 85
3.1 Conventions, especially about 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2 Convolution goes to multiplication. . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3 Scaling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.4 Fourier transform of a Gaussian is a Gaussian. . . . . . . . . . . 86
3.5 The multiplication formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.6 The inversion formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.7 Plancherel’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.8 The Poisson summation formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.9 The Shannon sampling theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.10 The Heisenberg Uncertainty Principle. . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.11 Tempered distributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.11.1 Examples of Fourier transforms of elements of S0. . . . . . 93
4 Measure theory. 95
4.1 Lebesgue outer measure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2 Lebesgue inner measure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.3 Lebesgue’s definition of measurability. . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4 Caratheodory’s definition of measurability. . . . . . . . . . . . . . 102
4.5 Countable additivity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.6 -fields, measures, and outer measures. . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.7 Constructing outer measures, Method I. . . . . . . . . . . . . . . 109
4.7.1 A pathological example. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.7.2 Metric outer measures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.8 Constructing outer measures, Method II. . . . . . . . . . . . . . . 113
4.8.1 An example. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.9 Hausdorff measure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.10 Hausdorff dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
CONTENTS 7
4.11 Push forward. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.12 The Hausdorff dimension of fractals . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.12.1 Similarity dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.12.2 The string model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.13 The Hausdorff metric and Hutchinson’s theorem. . . . . . . . . . 124
4.14 Affine examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.14.1 The classical Cantor set. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.14.2 The Sierpinski Gasket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.14.3 Moran’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5 The Lebesgue integral. 133
5.1 Real valued measurable functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.2 The integral of a non-negative function. . . . . . . . . . . . . . . 134
5.3 Fatou’s lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.4 The monotone convergence theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.5 The space L1(X,R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.6 The dominated convergence theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.7 Riemann integrability. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.8 The Beppo - Levi theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.9 L1 is complete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.10 Dense subsets of L1(R,R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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