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数学物理方程第二版习题解答
第一章． 波动方程
§1 方程的导出。定解条件
1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明 满足方程

其中 为杆的密度， 为杨氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 与 。现在计算这段杆在时刻 的相对伸长。在时刻 这段杆两端的坐标分别为：

其相对伸长等于
令 ，取极限得在点 的相对伸长为 。由虎克定律，张力 等于

其中 是在点 的杨氏模量。
设杆的横截面面积为 则作用在杆段 两端的力分别为

于是得运动方程
利用微分中值定理，消去 ，再令 得
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第 二 章 热 传 导 方 程

§1 热传导方程及其定解问题的提
1. 一均匀细杆直径为 ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律

又假设杆的密度为 ，比热为 ，热传导系数为 ，试导出此时温度 满足的方程。
解：引坐标系：以杆的对称轴为 轴，此时杆为温度 。记杆的截面面积 为 。由假设，在任意时刻 到 内流入截面坐标为 到 一小段细杆的热量为

杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻 到 在截面为 到 一小段中产生的热量为

又在时刻 到 在截面为 到 这一小段内由于温度变化所需的热量为

由热量守恒原理得：

消去 ，再令 ， 得精确的关系：

或
其中
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