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南京航空航天大学自动控制原理（双语教程课件完整版）

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The Principle of Automatic Control自动控制原理
Lecturers：Prof. Jiang Bin
试分别求出H(s)=1和H(s)=0.5时系统的稳态误差。

解:,系统的开环传递函数为



当H(s)=1时


当H(s)=0.5时,

思考：
(1) 若上例在H(s)=1时,系统的允许误差为0.2,问开环增益k应等于多少?
(2)当 时,上例的稳态误差又是多少?
Steady-state error of system with disturbance
内容：研究输入为0，只有扰动输入的系统稳态误差
目的：研究系统的抗扰动能力以及提高抗扰动的措施

理想情况下,系统对于任意形式的扰动作用,其稳态误差应当为0,但实际上这是不可能的。
如果输入信号R(s)=0,仅有扰动N(s)作用时,系统误差E(s)=0-C2(s) or e(t)=-c2(t):

如何消除扰动误差

开环对数幅频曲线L(w)穿过0分贝线时的频率wc叫做开环系统的截止频率，通常都用wc表示，它是系统开环频率特性中的一个很重要的参数。
在wc处有


实际上，绘制开环对数幅频曲线，不必将各典型环节的对数幅频曲线单独绘出后叠加，而是利用对数频率特性的特点，按以下步骤直接绘制。

Procedures to draw Bode plot
1.将开环传递函数G(s)H(s)写成典型环节的尾１标准形式，即：


并求出k的分贝值20lgk和各典型环节的交接频率w1，w2，w3，…
2.首先绘制低频段的特性 ，因为开环频率特性的低频部分在w趋向于0时， , 完全由比例环节和积分环节决定.
∴低频段的对数幅频特性为：

∴在w=1处量取20lgk得到一点B,过B点作一斜率为-20νdB/dec的直线，就得到G(s)H(s)的低频渐近线.
0型系统 La(w)=20lgk, 低频渐近线是一条水平直线。
Ⅰ型系统 低频渐近线是一条通过B点,斜率为-20dB/dec的直线。设低频渐近线或其延长线与w轴交点的频率为wa，也即：


Ⅱ型系统 低频渐近线是一条通过点B，斜率为-40dB/dec的直线，低频渐近线或其延长线与w轴的交点的频率wa，即


3.从低频渐近线开始，按照从低频到高频的次序，每遇到一个典型环节的交接频率，渐近线的斜率就要相应改变。
当遇到惯性环节的交接频率，渐近线应减去20dB/dec。
当遇到振荡环节的交接频率时，渐近线应减去40dB/dec。当遇到一阶微分环节，则斜率要加上20dB/dec;
二阶微分环节,斜率加上40dB/dec。
4. 如有必要，可用误差曲线进行修正，即得精确的对数幅频曲线。
系统的对数相频曲线，一般是按照开环对数相频特性的表达式，参照开环对数幅频的频率范围，取几个w值（最好就是典型环节的交接频率，算出几个 值，然后用逐点描绘的方法绘出系统的开环对数相频曲线。
提醒
画图时注意频率分布，适当选择0db 线横坐标起点0.01, 0.1, 1, …
合理布局，充分利用绘图空间

Example 5-6：试绘制单位反馈系统的开环传递函数


的渐近对数幅频曲线。

Step2: 各典型环节的交接频率为：
W1=1/0.5=2 惯性环节1/(0.5s+1)的交接频率(1/T)。
W2=1/(1/3)=3 一阶微分环节s/3+1的交接频率(1/τ) 。
W3=1.414 二阶振荡环节的交接频率(wn)

（横坐标起点可从w=0.1 or 1 开始)

按频率由低到高顺序排列典型环节
低频-﹥振荡环节(w=1.44)-﹥(惯性环节w=2)-﹥微分环节(w=3)


Step3: 绘制对数幅频低频渐近曲线

求20lgk,由k=7.5可得20lgk=17.5(dB)

(2) 画最左端直线：在横坐标w为1，纵坐标17.5dB/dec这一点，根据积分环节数ν=1画斜率-20dB/dec的最左端直线，或在零分贝线上找到频率为wa=k=7.5的点，过该点画-20dB/dec线，也能得到最左端直线。

Step4: 根据交接频率叠加绘制对数幅频中频段渐近曲线

当最左端直线画到
w为1.44时(振荡环节)，直线斜率由-20dB/dec变为-60dB/dec；
w=2时(惯性环节),斜率由-60dB/dec应变为-80dB/dec线;
w=3时(微分环节)，斜率由-80dB/dec线又变为-60dB/dec。


Example5-7：已知单位反馈系统的开环传递函数
试绘制系统的开环渐近对数频率特性(Bode图)

w1=1 斜率由－20dB/dec变为－40dB/dec。
w2=2 斜率由－40dB/dec变为－80dB/dec。
w3＝4 斜率由－80dB/dec变为－60dB/dec
w4＝10 在w4处斜率由－60dB/dec变为－80dB/dec




Example 5-9 :某最小相角系统，其渐近对数幅频曲线如图所示，试写出该系统的传递函数。

(1) 最左端直线斜率为-20dB/dec ，故系统包含一个积分环节。
当w=1时，纵坐标为15，可知比例环节
20lgk=15，∴k=5.6。

(2) w=2时，近似特性从-20dB/dec变为
-40dB/dec，故w=2是惯性环节的交接频率，
w=7是一阶微分环节的交接频率，系统的传递函数
习题5-12 (2)
Determination of static error constants from Bode diagram


5.3.4 Delay component
输出量毫不失真的复现输入量的变化，但在时间上存在一个恒定延迟的环节，称为延迟环节，延迟环节的结构图与输入-输出曲线如下：

频率特性
幅频特性
相频特性

由于幅频特性恒等于1，与w无关；
相频特性是w的线性函数，w为0时，相角等于0，w趋于无穷时，相角趋于负无穷。
所以，延迟环节的极坐标图是一个无限旋转的单位圆。




习题5-18

5-4 Stability criterion in frequency domain
1. 幅角原理
2. 奈奎斯特稳定判据
3. 开环系统含有积分环节的奈氏判据
4. 奈奎斯特稳定判据在Bode图中应用—对数稳定判据
5. 条件稳定系统
6. 稳定裕度
系统稳定性判别方法
奈氏稳定判据
The Nyquist stability criterion determines the stability of a closed-loop system from its open-loop frequency response and open-loop poles
可由开环频率特性和开环极点信息判断闭环稳定性


5.4.1 Mathematical background——argument principle（幅角原理）


5.4.3 开环系统含有积分环节时奈奎斯特判据的应用


Example 5-13：一单位反馈系统的开环传递函数

试用奈式判据判别系统的稳定性。
解：系统的开环幅相曲线如图：



5.4.4 Stability analysis with Bode Plot
对数频率稳定判据和Nyquist稳定判据本质相同，两种判据所依据的公式都是
Z=P-2(N+-N-)
只不过对数频率稳定判据是根据系统的开环伯德图,比较容易同时便于对系统进行校正，因此对数频率稳定判据应用更广。
开环系统极坐标图(Nyquist)和对数坐标图(Bode)的映射关系


若开环传递函数在右半s平面的极点数为P，开环幅频特性随着w从0变化到∞，对数相频曲线与-180度线的正负穿越次数之差为N’=N+-N-,则闭环系统特征方程式正实部根的个数Z=P-2N’ ，若Z为0，闭环系统稳定；若Z不为0，则闭环系统不稳定，有Z个正实部的特征根。

Example 5-16：一单位反馈系统，其开环传递函数为： ，试用对数频率稳定判据判断系统的稳定性。

Example 5-17：设单位反馈系统的开环传递函数如下：试判别系统的稳定性
5.4.5 Conditionally stable system
N-=1 (a点)，N+=1 (b点)，c点是无效穿越
若P=0,则Z=P-2N==0，闭环系统稳定。
增益K 增大？？
c点向左移，如果k足够大时，c点移过(-1,j0)，c点由无效穿越变成负穿越，则Z=P-2N=P-2(1-2)=2,该系统由稳定变为不稳定。

如果k值减到足够小，使b点向右移到单位圆内，则b点变成无效穿越，N+=0，N-=1，
则Z=P-2(0-1)=2,该系统由稳定变为不稳定。
只有k值在一定范围内时，系统才稳定，当增益大于此范围或小于此范围闭环均不稳定的系统，这种系统成为条件稳定系统。
非条件稳定系统：开环增益较小时闭环均稳定，当增大到某一值后系统均不稳定的系统。
5.4.6 Relative stability: Stability margin (相对稳定性-稳定裕度)
赖以分析和设计的系统数学模型不可能十分准确，尽管对模型的分析是稳定的，在实际系统中可能并不稳定；
一个稳定的系统还需要良好的瞬态响应。

因此，设计控制系统是不仅要求闭环系统是稳定的，还应具有一定的安全系数，即稳定的程度，称之为相对稳定性指标或稳定裕度。
相对稳定性的度量
In the time domain, relative stability is measured by parameters su