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免费下载Semi-Riemann Geometry and General Relativity(黎曼几何)电子书(英文)

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资料简介
Semi-Riemann Geometry and General Relativity(黎曼几何)电子书(英文)
0.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 The principal curvatures. 11
1.1 Volume of a thickened hypersurface . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 The Gauss map and the Weingarten map. . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Proof of the volume formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Gauss’s theorema egregium. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1 First proof, using inertial coordinates. . . . . . . . . . . . 22
1.4.2 Second proof. The Brioschi formula. . . . . . . . . . . . . 25
1.5 Problem set - Surfaces of revolution. . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Rules of calculus. 31
2.1 Superalgebras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Differential forms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 The d operator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Derivations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5 Pullback. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6 Chain rule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.7 Lie derivative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.8 Weil’s formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.9 Integration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.10 Stokes theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.11 Lie derivatives of vector fields. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.12 Jacobi’s identity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.13 Left invariant forms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.14 The Maurer Cartan equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.15 Restriction to a subgroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.16 Frames. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.17 Euclidean frames. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.18 Frames adapted to a submanifold. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.19 Curves and surfaces - their structure equations. . . . . . . . . . . 48
2.20 The sphere as an example. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.21 Ribbons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.22 Developing a ribbon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.23 Parallel transport along a ribbon. . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5
6 CONTENTS
2.24 Surfaces in R3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3 Levi-Civita Connections. 57
3.1 Definition of a linear connection on the tangent bundle. . . . . . 57
3.2 Christoffel symbols. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3 Parallel transport. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4 Geodesics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.5 Covariant differential. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.6 Torsion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.7 Curvature. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.8 Isometric connections. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.9 Levi-Civita’s theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.10 Geodesics in orthogonal coordinates. . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.11 Curvature identities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.12 Sectional curvature. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.13 Ricci curvature. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.14 Bi-invariant metrics on a Lie group. . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.14.1 The Lie algebra of a Lie group. . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.14.2 The general Maurer-Cartan form. . . . . . . . . . . . . . . 72
3.14.3 Left invariant and bi-invariant metrics. . . . . . . . . . . . 73
3.14.4 Geodesics are cosets of one parameter subgroups. . . . . . 74
3.14.5 The Riemann curvature of a bi-invariant metric. . . . . . 75
3.14.6 Sectional curvatures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.14.7 The Ricci curvature and the Killing form. . . . . . . . . . 75
3.14.8 Bi-invariant forms from representations. . . . . . . . . . . 76
3.14.9 The Weinberg angle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.15 Frame fields. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.16 Curvature tensors in a frame field. . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.17 Frame fields and curvature forms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.18 Cartan’s lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.19 Orthogonal coordinates on a surface. . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.20 The curvature of the Schwartzschild metric . . . . . . . . . . . . 84
3.21 Geodesics of the Schwartzschild metric. . . . . . . . . . . . . . . 85
3.21.1 Massive particles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.21.2 Massless particles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4 The bundle of frames. 95
4.1 Connection and curvature forms in a frame field. . . . . . . . . . 95
4.2 Change of frame field. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3 The bundle of frames. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.3.1 The form #. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.3.2 The form # in terms of a frame field. . . . . . . . . . . . . 99
4.3.3 The definition of !. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.4 The connection form in a frame field as a pull-back. . . . . . . . 100
4.5 Gauss’ theorems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.5.1 Equations of structure of Euclidean space. . . . . . . . . . 103
CONTENTS 7
4.5.2 Equations of structure of a surface in R3. . . . . . . . . . 104
4.5.3 Theorema egregium. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.5.4 Holonomy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.5.5 Gauss-Bonnet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5 Connections on principal bundles. 107
5.1 Submersions, fibrations, and connections. . . . . . . . . . . . . . 107
5.2 Principal bundles and invariant connections. . . . . . . . . . . . . 111
5.2.1 Principal bundles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2.2 Connections on principal bundles. . . . . . . . . . . . . . 113
5.2.3 Associated bundles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.2.4 Sections of associated bundles. . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.2.5 Associated vector bundles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2.6 Exterior products of vector valued forms. . . . . . . . . . 119
5.3 Covariant differentials and covariant derivatives. . . . . . . . . . 121
5.3.1 The horizontal projection of forms. . . . . . . . . . . . . . 121
5.3.2 The covariant differential of forms on P. . . . . . . . . . . 122
5.3.3 A formula for the covariant differential of basic forms. . . 122
5.3.4 The curvature is d!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.3.5 Bianchi’s identity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.3.6 The curvature and d2. . . . . .
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