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论文 外尔与黎曼几何的拓展
摘要 本文在一手文献的基础上，重点考察了外尔1917-1923年间对黎曼几何的系统阐述和重大推广，包括内蕴地定义仿射联络、建立“纯粹无穷小几何”、引入投影和保形结构、以及对“度量本质”的群论分析。外尔的这些推广，尤其是他的“纯粹无穷小几何”以及对 “度量本质”的分析，由于没有进入当代微分几何的标准语汇之中，今天已然隐退到历史的幕后了。但作者认为，外尔的这些工作是从黎曼几何过渡到纤维丛理论的一个重要环节，同时也是外尔从分析学转向李群理论的主要动因。
关键词 黎曼几何 仿射联络 外尔度量 射影与保形结构 度量的本质

引言
外尔对黎曼几何的系统阐释和发展，显然是受到爱因斯坦广义相对论的刺激。1915年之前，外尔的工作基本上集中在分析学的领域【1】。1915年5月15日，外尔应征入伍，随部住扎在萨尔布鲁克（Saarbrücken）。次年春，由于瑞士政府的请求，外尔回到了苏黎世联邦工业大学。这次服役，时间虽然不长，却是外尔数学生涯中的一个重大转折。对此，外尔后来回忆道：
爱因斯坦1916年发表的《广义相对论基础》宣告了一个崭新时代的到来，它的影响远远超出了数学的范围。在我的科学生涯中它同样是一个划时代的事件。1916年我从德国行伍退役，并回到瑞士的工作中。我的数学心灵就像任何一位老兵一样空白无着，我也不知道接下去做什么。我开始研究代数曲面，但就在我尚未获得多大进展之时，爱因斯坦的论文转到我手中，并使我走火入魔。（转引自【2】, 361）。
1917至1923年，外尔的科学研究几乎完全集中在广义相对论及其数学基础方面。1917－1918年夏季学期，外尔在苏黎世开设了广义相对论课程，其讲义《空间、时间与物质》【3】于次年出版。这部著作不仅是广义相对论、同时也是该理论的数学框架――黎曼几何的第一
次系统阐述。1919年，外尔还特别对黎曼1854年的就职讲演《论几何学基础中的假设》1逐条进行了诠释【4】。1922年春，外尔在巴塞罗那和马德里专门就空间问题的数学分析做了8次讲演。这一系列讲演用的是法语，1923年以德语出版【5】。外尔对黎曼几何思想的最后一次系统阐述是在1925年，此时外尔正处于其创造力的巅峰。1925年，俄罗斯政府着手主编罗巴切夫斯基全集，为此全集编委会邀请外尔写一篇“命题作文”。外尔于是撰写了40页的长文，标题是《黎曼几何思想，它的影响以及它与群论的联系》2【6】，并于同年9月寄到莫斯科大学数学所。或许是该文只是偶尔提及罗巴切夫斯基工作的缘故，因而没有收入到罗巴切夫斯基的文集之中。1988年，外尔全集的主编K. Chandrasekharan在证实此一情况之后，方才予以发表。正如Chandrasekharan所述，“这篇文章是作为现代几何概念之基础的那些基本思想的产生和发展的一份权威报告，它是用外尔特有的精致风格写成的，须知此时正值他的不惑之年”(【6】，iii)。
在以上这些著作以及外尔此间发表的一系列论文中，外尔不仅试图为黎曼几何提供一个公理化的表述，而且对黎曼几何首次做出了重大推广。首先，他在黎曼关于位置分析与度量几何的两分法中，插入了仿射几何这一过渡环节，并且引入了保形和投影的概念。其二，他发展了一种“纯粹无穷小几何”，不妨称之为“外尔几何”。在该几何中，矢量在位移时不仅方向有变化，而且长度也要发生变化。第三，外尔试图在合同运动概念的基础上，利用群论方法，为黎曼关于线元长度的基本假设提供一个自然的解释。外尔的这些思想，是后来发展的齐性流形和纤维丛理论的先声，同时也预示着外尔在李群理论上的重大成就。下面我们就从这几个方面来考察外尔对黎曼几何思想的发掘与推广。
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