学海网

毕业论文-矩体的分解理论及其应用，共91页，43103字
中文摘要
矩阵可以用来表示线性变换、线性系统，无论是在数学领域还是在工程应用
领域，矩阵都是极其重要的数学工具。在信号处理中，矩阵可以用来表示二维的
平面信号，矩阵理论中的许多结果都可以用来直接处理这样的二维信号，提取数
据的有用信息，如矩阵的奇异值分解(SVD)。随着计算机科学的快速发展，信号
处理领域所需处理的数据对象更是越来越庞大和复杂，其中有一类数据可以被统
一视为高维的数组，其每个元素由多个指标来索引。对于这样的数据，现阶段已
经具有许多处理的方法，但它们基本都是将数据转换成矩阵的形式之后再处理的，
没有深入挖掘和利用整个数据结构整体的性质。为此，我们考虑将矩阵推广到更
高维的形式，建立一套和高维数组相适应的高阶矩阵的理论，我们称这样的推广
为矩体。矩阵理论中最重要代数运算为矩阵的乘法，有了它，我们可以定义矩阵
的逆，矩阵的特征值，矩阵的分解等十分重要的概念。为此，我们首先给出矩体
的乘法和其代数结构，并将矩阵的相关理论推广到矩体的形式。在实际的应用中，
鉴于矩体的分解具有重要的作用，本文将重点讨论矩体的分解，并将其运用到实
际的信号处理例子之中以检验它的性质。
关键字 矩体空间;矩体乘法;矩阵 SVD;矩体的 SVD 分解;矩体的低秩近似
目录
第 1 章 引言.1
1.1 研究目标.......1
1.2 相关研究领域介绍.......2
1.3 矩阵理论概要... .......3
1.4 本文的结构和主要内容安排 ..... 5
第 2 章 矩体的定义、表示及简单运算...6
2.1 矩体的定义....6
2.1.1 N 阶矩体的直观定义....6
2.1.2
2.1.3
域的 n 次张运算7
域的 p 阶 (n1, n2 ,..., n p ) 次张空间...7
2.1.4 N 阶实矩体的代数定义..8
2.2 矩体的表示...9
2.3 矩体的简单运算11
2.3.1 高阶矩体的向量化和矩阵化.......11
2.3.2 矩体的加法、减法、数乘运算和转置.......14
第 3 章 矩体线性映射和矩体乘法......17
3.1 广义线性映射.17
3.2 矩体的乘法运算.......20
3.2.1 矩体的普通乘积.20
3.2.2 两个矩体的外积.21
3.2.3 两个矩体的标量积.......22
3.2.4 矩体和普通矩阵的乘法...22
3.3 矩体的不完全乘法.....24
第 4 章 矩阵相关性质在矩体上的推广..26
4.1 基本的矩体...26
4.1.1 秩为 1 的矩体...26
4.1.2 单位范数矩体...27
4.1.3 方形矩体.......27
4.1.4 对角矩体.......27
4.1.5 低阶矩体和向量的外积...27
4.2 矩体的秩....28
4.2.1 矩体的模式 n 秩.28
4.2.2 矩体的完全秩...29
4.2.3 矩体的完全秩与模式秩的关系.....31
4.3 正交矩体...33
4.4 矩体的特征值和奇异值.......36
4.5 对称的矩体..42
第 5 章 矩体的分解44
5.1 矩阵的奇异值分解...45
5.2 寻求高阶矩体分解的思路.....48
5.2.1 分解思路 1——分解为简单矩体之和......48
5.2.2 分解思路 2——矩体变换的角度..49
5.3 矩阵 SVD 的推广 1——高阶矩体的秩-1 分解....49
5.4 矩阵 SVD 的推广 2——高阶矩体 SVD 分解.....53
5.5 矩体分解的计算实例.56
5.4.1 彩色图像的矩体分解...56
5.4.2 多组分荧光激发-发射光谱数据的分析.....59
第 6 章 总结.....61
插入索引62
表格索引63
参考文献64
致谢....66
声明....67
附录 A..68