学海网

硕士论文-图像降噪的PDE插值小波算法研究，共82页，40154字
摘 要
摘要
本论文的研究目的是将 Shannon 多层插值小波算法与自适应积分方法相结合，提出
了一种用于偏微分方程的求解新方法，并用这种方法实现图像的去噪；本工作由以下几
个部分构成：
第一、构造了利用 Shannon 小波作为基函数的插值小波算子，并讨论了 Shannon 插
值小波算法在偏微分方程求解中的应用，数值结果表明了该小波良好的数值
性能。
第二、将 Shannon 插值小波算法与精细积分方法相结合提出了求解偏微分方程的自
适应多层插值小波算法。利用 Shannon 小波作为基函数构建自适应多层插值
算子，结合张量积小波将基于插值小波的自适应插值算子推广到二维，用于
求解二维偏微分方程，并实现了小波形函数的快速计算。多层插值小波算法
和自适应精细积分法的结合使求解问题在时间域和空间域实现了自适应离
散。
第三、利用自适应多层插值小波算法对热传导方程进行求解，实现对图像的平滑去
噪。去噪的实验结果表明了利用基于偏微分方程的多层插值小波算法图像去
噪的有效性。
关键词：Shannon 多层插值小波算法；偏微分方程；自适应精细积分法；热传导方
程；图像去噪
目 录
摘 要... 1
Abstract.. 2
1 绪 论 1
1.1 选题背景及目的 .. 1
1.1.1 图像去噪的重要意义... 1
1.1.2 图像去噪的技术背景及研究现状... 2
1.1.3 基于偏微分方程去噪的国内外研究现状及分析 ... 4
1.2 偏微分方程的基本概念及小波数值解法的发展概况... 6
1.2.1 偏微分方程的基本概念... 6
1.2.2 偏微分方程的小波数值解法的发展概况... 7
1.3 精细积分法的发展及应用 10
1.3.1 指数矩阵精细算法. 10
1.3.2 精细积分法在非线性动力方程求解中的应用 . 11
1.3.3 精细积分法在偏微分方程求解中的应用. 11
1.4 本文的主要研究工作 12
2 解偏微分方程的自适应 Shannon 插值小波方法  14
2.1 shannon 小波及其性质 .. 14
2.2 shannon 插值小波的构造 .. 16
2.2.1 Sobolev 空间简介[67] ... 16
2.2.2 基函数的构造及其特性. 17
2.2.3 微分方程 Shannon 小波方法 . 22
2.3 二维偏微分方程的单层插值小波算法 24
2.3.1 二元张量积小波分析[68]  24
2.3.2 二维偏微分方程的插值小波法. 25
2.4 微分方程的自适应精细积分算法. 27
2.4.1 Burgers 方程的空间离散  27
2.4.2 非线性项的线性化处理. 28
2.5 小结 29
3 二维偏微分方程自适应多层插值小波算法 30
3.1 插值小波分析 30
3.1.1 插值尺度函数的概念[73]  30
3.1.2 插值小波变换. 31
3.2 Shannon 多层插值小波算法.. 32
3.2.1 插值小波基函数的选取.. 32
3.2.2 Shannon 多层插值算子的构造... 33
3.2.2.1 基本知识.. 33
3.2.2.2 DWT 算法. 34
3.2.2.3 插值算子的计算.. 36
3.2.3 小波形函数的快速算法. 37
3.2.3.1 形函数参数分析.. 37
3.2.3.2 快速计算方法.. 42
3.3 求解偏微分方程的自适应多层插值小波算法. 45
3.3.1 自适应多层插值算子.. 45
3.3.2 配置点索引集 Z≥j和 Zc的确定及讨论. 45
3.3.3 求解偏微分方程的自适应多层插值小波法.. 46
3.4 数值结果及方法讨论 47
3.4.1 数值结果.. 47
3.4.2 方法讨论. 48
3.5 本章小结 48
4 基于偏微分方程多层插值小波算法的图像去噪  49
4.1 基于热传导方程的图像降噪 49
4.1.1 基于 Shannon 多层插值小波算法的热传导方程的求解 .. 49
4.1.2 基于热传导方程去噪的原理.. 52
4.2 基于热传导方程去噪的仿真实验及结果分析 53
4.3 本章小结. 61
5 结论与建议 63
参考文献... 64
致 谢. 68
攻读学位期间发表的学术论文... 69